수 퍼즐 문제 만들기 과제에서 나타나는 초등수학 영재들의 수학적 사고특성 분석-문제설정과 일반화 사고를 중심으로
Analysis of 'Mathematical thinking' Process in Puzzle Problem Posing for the Mathematically Gifted Elementary Students - Focus on the Problem Posing and Generalization
초록/요약
본 연구는 초등학교 수학영재 학생들이 수 퍼즐 문제 만들기라는 과제가 주어졌을 때 그들의 문제 설정 유형과 자신이 만든 수 퍼즐 문제의 해결과정에서 나타나는 일반화 과정을 분석하는 것이며, 이를 통해 수학영재들의 수 퍼즐 문제 만들기를 효과적으로 지도하는 방안을 제안하고 더 나아가 수학영재교육을 위한 교수․학습 및 지도 자료의 개발에 시사점을 도출하여 수학영재교육전반에 도움이 되는 것이 목적이다. 이를 위해 수 퍼즐 프로그램의 수업과정에서 학생들이 만든 수 퍼즐 문제 발표 자료와 내용을 분석하였으며, 관찰기록, 비디오자료, 활동지, 발표지, 면담자료 등을 함께 이용하였다. 연구대상은 초등학교 5학년 초등수학 영재학생들이며, 경기도 Y시 소재의 G초등학교 부설 영재학급 5학년 20명과, Y교육지원청 영재원 5학년 20명이다. 본 연구에서 수학영재들이 새롭게 자신의 아이디어로 만든 수 퍼즐 문제설정 유형에서 몇 가지 차이점을 발견했으며, 이러한 문제들의 일반화 과정에서 다음의 결론을 얻어냈다. 「수 퍼즐 문제 만들기 과제」에서 수학영재들이 만들어 낸 문제의 유형분석에 대한 결론은 다음과 같다. 첫째, 수학영재들은 수 퍼즐 문제 설정에 있어 원 문제와는 다른 독립적 문제를 설정하려는 기질을 보이며, 문제의 완성도가 높고 복잡한 연산을 필요로 하는 문제를 설정하였다. 또한 상위수준의 수학영재일수록 수 퍼즐 문제 설정에 있어 완성도가 높고, 보다 더 독창적이며 문제 해결과정에서도 완벽성을 추구한다. 둘째, 수학영재들은 수 퍼즐 문제 설정에 있어 제한적인 열린 문제 설정을 선호한다. 이는 수학영재들이 문제설정에서부터 문제해결의 과정까지 미리 계획하며 해를 찾기 위한 일반화를 위한 조건을 만드는 것으로 완벽성을 추구하는 성향에서 비롯된 수 퍼즐만의 특성으로 나타난다. 셋째, 수학영재들은 수 퍼즐 문제 설정에 있어 단순한 수준에 그치지 않고 확장화가 가능한 문제를 설정하려는 성향이 있다. 「수 퍼즐 문제 만들기 과제」에서 수학영재들이 만든 문제를 스스로 해결하는 과정에 나타나는 일반화 사고의 유형과 특성은 다음과 같다. 첫째, 어렵고 복잡한 것에 대해 스스로 도전하는 성향이 있는 수학영재학생들은 자신이 만든 수 퍼즐 문제해결과정에서 조작기나 사실적 일반화 수준의 단계의 사고보다는 암시적 일반화, 형식적 일반화 수준의 단계로 사고하는 수준을 보여준다. 둘째, 상위의 수학영재집단일수록 일반화 사고 수준이 형식적 일반화에 가깝고 형식적 일반화 수준의 단계로 사고하는 수학영재일수록 문제풀이과정에서 스스로 만든 수의 이동 패턴이나, 자기만의 알고리즘의 사용, 중복되어 계산되는 영역을 우선 파악하는 등의 사고전략을 사용하였다. 셋째, 보다 높은 수준의 일반화 사고를 사용하는 수학영재일수록 수 퍼즐 문제 해결 과정에서 바로 문제의 해를 구하지 않고, 문제의 조건에 의한 수의 범위값을 부분적으로 일반화 한 후에 해를 찾는 특성이 있다. 넷째, 수학영재들의 창의적 산출물 만들기의 소 과제로 수 퍼즐 문제 만들기 활동은 수학영재들의 창의성을 바탕으로 다양한 사고의 반응과 유형을 이끌어 내어 보다 발전된 수학적 사고를 촉진할 수 있다. 수학영재들의 「수 퍼즐 문제 만들기 과제」를 지도하는 방안을 다음과 같이 제안한다. 첫째, 초등수준의 수학 영재들은 빠른 사고의 전이과정이 있기 때문에 수 퍼즐 문제 해결의 과정에서 충분히 사고하고 상호작용으로 서로 탐색하고 논의하는 기회를 제공해 주었을 때 더 높은 수준의 수학적 사고를 유도 할 수 있다. 따라서 서로의 수 퍼즐 문제에 대해 해를 논의해보고 발전시킬 수 있는 토의, 토론, 협력활동 등의 학생상호작용의 설계는 매우 중요하다. 둘째, 수 퍼즐 문제 설정 단계에서부터 수학 영재학생들의 일반화 사고수준과 관련성이 있는 것으로 보아 문제 설정단계에서부터 수학영재들이 과제의 특성을 잘 인지하고 수학적으로 의미가 있는 사고활동이 될 수 있도록 지도할 때, 수학영재학생의 일반화 사고 수준을 보다 빨리 높일 수 있다. 셋째, 수 퍼즐 문제 설정과정에서 문제의 확장화에 대한 수학영재들의 의도성을 높여주는 활동이 교수․학습적으로 계획 된다면 수학영재학생들은 더욱 높은 빈도로 수학적 가치가 있는 수 퍼즐 문제를 설정할 수 있을 것이다.
more목차
Ⅰ. 서 론
1. 연구의 필요성 및 목적 1
2. 연구의 내용 4
3. 용어의 정의 4
4. 연구의 제한점 6
Ⅱ. 이론적 배경 8
1. 문제 만들기 8
가. 문제 만들기 학습의 필요성과 의의 8
나. 문제 만들기의 제재 9
다. 문제 만들기 단계 12
2. 문제의 분석 15
가. 문제의 완성도 15
나. 원 문제와의 관련성 16
다. 문제의 복잡성 17
라. 문제 해결의 다양성 18
3. 수학 영재들의 사고특성 18
가. Krutetskii의 수학적 사고 유형 19
나. 片桐重男의 수학적인 사고 21
다. 송상헌의 수학영재들의 수학적 행동 특성 22
라. NCTM의 수학영재들의 수학적 행동 특성 23
4. 대수 학습에서의 일반화의 유형과 전략 25
가. 일반화의 유형과 특징 25
나. 일반화의 전략과 수준 27
5. 선행연구의 고찰 31
Ⅲ. 연구 방법 및 절차 36
1. 연구 도구 36
가. 연구 과제 36
나. 과제 분석 36
2. 연구 대상자 46
3. 연구절차 47
가. 예비 검사 47
나. 1차 검사 48
다. 2차 검사 48
4. 자료 수집 49
5. 자료 분석 50
가. 문제 만들기 유형에 대한 분석 도구 50
나. 풀이의 일반화 사고 수준에 대한 분석 도구 51
Ⅳ. 연구의 결과 53
1. 문제 만들기 유형에 대한 분석 53
2. 일반화 과정에 대한 분석 70
3. 수 퍼즐 문제 만들기를 지도하는 방안 96
Ⅴ. 요약 및 결론 100
1. 요약 100
2. 결론 및 제언 101
참고 문헌 104
<부록>1. 수학영재학생들이 만든 수 퍼즐 아이디어자료 107
ABSTRACT 122
